外積公式推導

會寫此文是因 http://elearning.stut.edu.tw/mechanical/Statics/newpage23.htm 這網頁已失效了，這網頁對外積公式有很清楚的推導，所以覺得很可惜。但完整的內容也不可能記住，所以只能依賴模糊的記憶和網上收集資料盡力幫他還原。

首先我先表達我個人(既然說是個人表示是猜測，因此歡迎指正)對外積的看法，我認為這東西應該是發明出來的，原因是這東西是用來描述力矩，力矩具有大小和正負，但看不出它具有方向，也就是說力矩好像是一個純量(大陸那邊好像叫標量)，但純量是可以任意相加減，可是力矩又不能這樣做，就好像力矩具有不同的質。

但透過外積，這個質可以描述出來了，只要同質就可以相加減了，因此外積是一個很聰明的發明，但這個力矩的向量值只能當作質，不能當作施力的方向。但可以由三維空間中兩條向量算出第三條垂直向量這一點，在 3D 繪圖是很重要的功能。


以下是外積公式的推導過程：

1. 先定義 3D 空間三維座標 x, y, z 的單位向量 $\vec{ i }, \vec{ j }, \vec{ k }$，這三個向量可視為三個不同的質。
2. 再設計出符合右手定則，在向量的 x y z 三分量上做以下外積規則定義
   $\vec{ i } \times \vec{ j } = \vec{ k }\ \ \ \ \ \ \vec{ i } \times \vec{ k } = -\vec{ j }\ \ \ \ \ \ \vec{ i } \times \vec{ i } = 0$
   
   $\vec{ j } \times \vec{ k } = \vec{ i }\ \ \ \ \ \ \vec{ j } \times \vec{ i } = -\vec{ k }\ \ \ \ \ \ \vec{ j } \times \vec{ j } = 0$
   
   $\vec{ k } \times \vec{ i } = \vec{ j }\ \ \ \ \ \ \vec{ k } \times \vec{ j } = -\vec{ i }\ \ \ \ \ \ \vec{ k } \times \vec{ k } = 0$
3. 一般向量都用三維座標來表示 $\vec{ A }$=($a_x,a_y,a_z$)，但也可以視為三維向量的合力 $\vec{ A }= a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$，依樣再定義一條 $\vec{ B }= b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k}$。
4. 所以
   $\vec{ A } \times \vec{ B }= (a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}) \times (b_x\vec{i} + b_y\vec{j} + b_z\vec{k})$
                用分配律展開
               $= a_x\vec{i} \times b_x\vec{i} + a_x\vec{i} \times  b_y\vec{j} + a_x\vec{i} \times b_z\vec{k} +$
                  $a_y\vec{j} \times b_x\vec{i} + a_y\vec{j} \times b_y\vec{j} + a_y\vec{j} \times b_z\vec{k} +$
                  $a_z\vec{k} \times b_x\vec{i} + a_z\vec{k} \times b_y\vec{j} + a_z\vec{k} \times b_z\vec{k}$
                整理一下
               $= a_xb_x(\vec{i} \times \vec{i}) + a_xb_y(\vec{i} \times  \vec{j}) + a_xb_z(\vec{i} \times \vec{k}) +$
                   $a_yb_x(\vec{j} \times \vec{i}) + a_yb_y(\vec{j} \times \vec{j}) + a_yb_z(\vec{j} \times \vec{k}) +$
                  $a_zb_x(\vec{k} \times \vec{i}) + a_zb_y(\vec{k} \times \vec{j}) + a_zb_z(\vec{k} \times \vec{k})$
                 套用第 2 點的規則
               $= a_xb_x(0) + a_xb_y(\vec{k}) + a_xb_z(-\vec{j}) +$
                   $a_yb_x(-\vec{k}) + a_yb_y(0) + a_yb_z(\vec{i}) +$
                  $a_zb_x(\vec{j}) + a_zb_y(-\vec{i}) + a_zb_z(0)$
                 做最後整理
               $= (a_yb_z - a_zb_y)\vec{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\vec{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\vec{k}$