[轉貼] 自然常數 e 為什麼這麼重要？

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為免日後失連，所以在這裡備份一份，並轉為繁體中文。

由於原作是用一般打宇作敍述，沒法表現出數學式，所以這裡用 LaTex 幫忙修訂，但不碓定是否完全正確，所以有錯誤的地方還請不吝指正。

我們知道，自然界有一些十分重要的常數，如 0，1，i，p，e 等，它們的存在很大程度上影響了我們的學習與生活，今天我們就來深度挖掘一下，自然常數 e 為什麼這麼重要？

※ 什麼是自然常數 e？

在回答自然常數 e 為什麼這麼重要之前，我們首先要問，自然常數 e 是什麼？ 簡單搜索一下可以發現，百度百科裡面是這麼解釋的：

自然常數，是數學科的一種法則。 約為2.71828，就是公式為 $lim (1+1/x)^x，x→∞$ 或 $lim (1+z)^\frac{1}{z}，z→0$，是一個無限不循環小數，是為超越數。

這個解釋給人的感覺就是很高（zhuang）端（bi），對於數學不好的人而言只能用以下反應來形容：

萬萬沒想到，幾個月前，超模君橫空出世，僅用一篇文章，就通俗易懂地闡明瞭 e 的含義，即使是我這種數學殘疾看過去也能一目了然。

這裡以一個銀行存款的例子簡單描述一下：
我們在銀行存款是有利息的，而存款賺到的利息又可以繼續和本金一起，賺取更多的利息。 當然，銀行不是慈善家，它們結算利息的頻率很低，要每一年甚至三年才結算一次，也就是說，在這一年或者三年的時間里，已經獲得的利息並不能幫我們賺取更多利息。

下面考慮一種理想狀況，也就是假定有這樣一家銀行，它一年的存款利率是 100% （簡記為1），並允許我們自由選擇結算利息的次數。 如果我們存入銀行 1 塊錢，那麼我們一年最多能夠賺多少錢呢？ 

（1） 如果只在年底結算一次利息，由於一年的利率是 1，那麼一年後我們可以連本帶利得到 2 塊錢。

（2） 如果我們要求每半年就結算一次利息，由於半年的利率是 1/2，那麼一年後我們可以連本帶利得到 2.25 塊錢。

（3） 如果我們要求每一個月就結算一次利息，由於一個月的利率是 1/12，那麼一年後我們可以連本帶利得到 2.61 塊錢。

（4） 可以看到，利息結算次數越多，年底獲得的收入也就越多。 如果我們腦洞大開，要求銀行時時刻刻為我們結算利息，也就是說結算利息的次數為無數次，那麼我們能否得到無窮無盡的收入，實現數錢數到手抽筋的夢想呢？

很遺憾，這個是不可能的！ 因為我們最終獲得的收入其實就是下面這個式子，

而數學家的計算已經表明，這個式子的值其實是有限的，其大小為 2.718281828...，是一個無限不迴圈小數，為了使用方便，我們就用 e 來代表它。 所以，e 就是複利的極限，或者更廣義地說，應該是增長的極限。

為什麼 $e^x$ 和 $\ln{x}$ 這麼常見？

然而，即使明白了什麼是自然常數e，作為被高等數學期末考試和研究生考試虐得狼狽不堪的我，還是會冒出以下疑問：
e 不就是增長的極限嗎，你不好好考我求極限，凈考我關於 $e^x$ 和 $\ln{x}$ 的導數積分是什麼意思？重新翻閱以前的資料我才發現，其實這裡涉及到了這兩個函數的特殊性質。

首先是指數函數。 眾所周知，指數函數在我們現實世界中具有重要作用（雖然本人並沒有感覺到），那麼我們便不可避免地需要對指數函數進行求導運算。 指數函數 $y=a^x$ 的導數為

可以看到，要想得到 $y=a^x$ 的導數，需要求得後面的極限，可是如果直接令 △x→0，是無法得到極限的，怎麼辦？ 這裏我們轉換一下思維，讓 $a^{△x}-1=1/n$ ，那麼就有 $△x=\log_a{(1+1/n)}$，這個時候就有了

哈哈，這個時候我們發現，e 的定義派上用場了。 去掉討厭的極限符號，我們可以得到

對於有強迫症的人來說，後面那個數字看著真的好不舒服，啥時候能把那個數字去掉啊？答案就是，當 a=e 的時候，因為這個時候數字正好變成了 1。最終，我們把這個特殊的指數函數單拎了出來，使得其區別於其它的指數函數。

既然說到了指數函數，那麼不得不提的就是它的另一半 $y=\log_a{x}$。 兩個不僅 是天生的一對兒，而且 $y=\log_a{x}$ 的重要性並不亞於 $y=a^x$，我們來看一下 $y=\log_a{x}$ 的導數。

可以看到，如果我們也讓 a=e，常數 $\log_a{e}$ 便等於 1，此時對數函數的導數形式也最簡單。 所以說，當 a=e 時，無論是指數函數還是對數函數，其導數形式都是最簡單的。

(註：這裡原作者筆誤，應如下才對)$$\frac{d}{dx}e^x = e^x, \frac{d}{dx}log_ex = \frac{1}{x}$$

此外，人們為了讓關於 e 的對數函數區別於其它對數函數，甚至還給它另外起了個名字，叫自然對數，並簡單記為 $y=\ln{x}$，這也充分凸顯了自然對數的重要性。

這個時候可能也有人要問了，萬一我要用的就是 $y=2^x$ 或者 $y=\log_2{x}$ 呢？ 沒關係，我們可以給它整下容，變成 $y=e^{(x\ln{2})}$ 或者 $y=\log_2{(e\ln{x})}$ (註：原作者在這應該只是示意的表逹，應該用換底公式才對 $y=\ln{x}/\ln{2}$)，計算方式並沒有發生本質變化。

※ $e^x$ 和 $\ln{x}$ 的現實意義

通過以上分析，我們可以看到，引入關於 e 的指數函數與對數函數是因為其對應的導數具有極其簡單的形式。 難道歐拉等那些大數學家已經預料到現在的我們考試壓力太大，為了讓我們在考試的時候更容易進行求導計算，大動干戈引入了自然常數e？那麼... 從來沒有感覺到自己這麼重要呢！

哈哈，顯然不是那樣的！

其實，之所以頻繁出現關於 e 的函數，是因為我們現實世界中有太多問題具有以下特點：即一個量的變化與自身大小相關。 而凡是這一類問題，都迫使我們必須引入關於 e 的指數函數或對數函數。

• 理想環境下的種群數量

在生物領域，一個簡單而又經典的問題便是理想環境下的種群數量變化規律。 種群數量越大，種群的增長速率也就越快，種群數量的變化率是和當前種群數量 y 相關的，於是可以簡單描述為

我們已經知道，導數等於自身的函數就是 $y=e^t$。 但是因為右邊存在一個比例常數 λ，所以我們可以假定種群數量 y 隨時間 t 的變化規律符合通用關係 $y=ae^{bt}+c$ （a≠0），從而有

可以發現，要使左右兩端相等，需要 c=0，b=λ，所以種群數量的變化規律符合 $y=ae^{λt}$。 我們知道，現實中的資源不可能無窮無盡，種群數量也不可能無限增長，可是上述規律卻為我們研究早期某一種群數量的變化提供了一個良好的近似。

此外，放射性核素的衰變同樣符合上述規律。 放射性核素的衰變速率與當前核素的數量 N 相關，也就是有

最終也會導致放射性核素數量的變化符合 $N=N_0 e^{-λt}$。

• 彈簧振子的運動

我們再來看一下彈簧振子的運動。 彈簧振子的受力和它自身的位移成正比，並且與運動方向相反。 根據牛頓第二定律，有

我們已經知道，$x=e^t$ 的導數等於自身，那我們當然可以進一步知道，其二階導數、三階導數甚至更高階的導數仍然是它自己。 所以這裡我們當然還是可以假定 $x=ae^{bt}+c$（a≠0），從而有

可以發現，要使左右兩端相等，需要 c=0，$b^2$=-k/m，也就是

所以彈簧振子的運動符合

可以看到，引入關於 e 的指數函數與對數函數后，現實中很多問題都得到了順利求解。 當然，除了以上一些問題，還有一些問題，如 LC 振蕩電路、原子軌道等，對這些問題的求解都必須引入自然常數 e。 所以說，引入自然常數 e 是人類認識自然現象的必然選擇，而反過來，自然常數 e 對人類文明的發展也產生了重大影響。 在此，我們不得不佩服那些具有深刻洞察力並大膽引入自然常數 e 的數學先驅。

※ e 的一些有趣性質

此外，隨著 e 的廣泛應用，人們還發現，e 的性質遠遠不止上述所提及的那麼簡單，它還具有很多其它有趣的性質

好了，e 的故事講完了。 簡單總結一下就是，人們在生活中經常遇到一個量的變化與自身大小相關的問題，為求解這類問題必須引入關於 e 的指數函數與對數函數，並定義 $e=lim（1+1/x）^x$ （x→∞），而 e 的定義表明其實這個值就是增長的極限。

個人覺得我們學數學時之所以會感到困惑，是因為我們的老師只給我們講述數學理論，卻並沒有和現實中的一些實際問題結合在一起。 而改善這一局面最好的方法就是我們自己要勤於思考，善於總結，爭取在教育下一代的時候不要讓他們產生與我們相同的困惑。